Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся также m:n.

Сделаем рисунок. АВ - общая касательная. IJ-  отрезок, соединяющий центры. О - точка пересечения этого отрезка и касательной. IA - радиус большей окружности,  JB - радиус меньшей окружности. Вариант решения 1)Как радиусы, проведенные в точку касания, IA  и  JB  перпендикулярны  касательной АВ.Прямоугольные треугольники OIA  и OJB подобны по двум углам - прямому и вертикальному при О. Все стороны этих треугольников имеют коэффициент подобияk=m:n ⇒IA:JB=m:nЯсно, что отношение диаметров данных  окружностей равно отношению их радиусов,  т.е. АС:ВD=m:n.Вариант решения 2)СА ⊥АВ BD ⊥АВ ⇒СА и BD- параллельны. Углы С и D равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.. Углы при О равны, как вертикальные. Треугольники АСO и  DBO подобны по трем углам. OI OJ- медианы этих треугольников. Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение диаметров данных окружностей ( гипотенуз треугольников) равно отношению их медиан, т.е. АС:ВD=m:n.