Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС касается стороны ВС в точке М. Окружность с центром О1 касается стороны ВС в точке N, а также продолжений сторон АС и АВ.
а) Докажите, что около четырехугольника ВОСО1 можно описать окружность.
б) Найдите площади четырехугольников ВОСО1 и NОМО1, если известно, что АС=6, ВС=8, АВ=10.

А у меня получилось 32 и 16, кажется у вас ошибка...

Пока не могу найти

Просто числовая...

а) Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.Угол АСР - развернутый и равен 180°.  ОС и О1С - биссектрисы углов АСВ и РСВ, так как это отрезки, соединяющие центры окружностей и точку С, из которой проведеныкасательные к окружностям. Следовательно, <OCB+<O1CB=90°. Точно так же <OBC+<O1BC=90°. Значит сумма противоположных углов четырехугольника ВОСО1 равна 180° и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.б) Радиус вписанной в треугольник окружности равен r= S/p = √[(p-a)(p-b)(p-c)]/√p,где р - полупериметр треугольника. В нашем случае радиус ОM=√[6*4*2/12]=2.Тогда площадь треугольника АВС равна r*p=24, а площадь треугольника ОВС=(1/2)*ОМ*ВС=8.Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b, вычисляется по формуле:Rвн=S/(p-b), где S- площадь треугольника. В нашем случае Rвн=24/(12-8)=6. Тогда площадь треугольника О1ВС=(1/2)*О1N*BC=(1/2)*6*8=24. Площадь четырехугольника ВОСО1 равна сумме площадей треугольников ОВС и О1ВС. Sboco1=8+24=32.Четырехугольник NOMO1 - трапеция с основаниями ОM и O1N (так как ОM и О1Nперпендикулярны ВС, а значит параллельны) и высотой MN (MN перпендикуляр к ОM и О1N).  ОМ=2, О1N=6. Найдем MN.Есть свойство: Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности изпротивоположной вершины, равна полупериметру треугольника. То есть АР=р=12. Тогда СР=АР-АС=12-6=6. NC=CP=6 как касательные из одной точки. МС=р-АВ (по свойству отрезка стороны от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью). В нашем случае МС=12-10=2. Тогда MN=NC-МC=6-2=4. Площадь трапеции NOMO1=(1/2)*(OM+O1N)*MN=(1/2)*(2+6)*4=16.Ответ: Sboco1=32, SMONO1=16.