В правильной шестиугольной призме ADCDEFA[tex] _{1} [/tex]B[tex] _{1} [/tex]C[tex] _{1} [/tex]D[tex] _{1} [/tex]E[tex] _{1} [/tex]F[tex] _{1} [/tex], все ребра которой равны 5, найдите расстояние от точки A до прямой C[tex] _{1} [/tex]D[tex] _{1} [/tex].

Углы в основании правильной шестиугольной призме равны 120 градусов (720/6=120). Проведем прямую АС и найдем её длину. Т.к. АВ=АС ⇒ АВС - равнобедренный. Угол АВС равен 120 градусов, углы ВАС и АСВ равны 30 градусов (по построению). Теперь проведем биссектрису из вершины В (она же будет медианой, т.к. треугольник равнобедренный, точку пересечения с прямой АС назовем G. Зная, что длина катета противолежащего углу в 30 равна половине гипотенузы, получаем длину BG=2,5. Теперь найдем длину AG. По теореме Пифагора:

 AB²=BG²+AG²

25=6.25+AG²

AG²=25-6.25

AG=√18.75

Так как АС=2AG ⇒ АС=2√18,75=√75

Теперь построим прямую АС1 и найдем её длину.

Треугольник АСС1-прямоугольный (потому что призма правильная),СС1=5

Далее, используем теорему Пифагора:

АС1²=АС²+СС1²

АС1²=75+25

АС1=√100=10

Ответ: Расстояние от точки А до прямой С1D1 равно 10