Через пересекающиеся прямые АВ и ВС, угол между которыми равен 60°, проведена плоскость α. Через точку А параллельно прямой ВС проведена плоскость β. Угол между прямой АВ и плоскостью β равен 30°. Найти угол между плоскостями α и β, если АВ=5/√3.

Красиво и понятно.

Вопрос задачи - найти величину двугранного угла.    Двугранный угол измеряется величиной его линейного угла.  На рисунке  это угол между  перпендикулярами АР и АМ, возведенными из точки А к линии пересечения плоскостей, т.е. к ребру  КН этого угла.    Угол между прямой АВ и плоскостью  β - это угол  ВАН, т.е. угол между ВА и ее проекцией АН  на плоскость β. ВН ⊥ плоскости  β, следовательно, ⊥ и прямой НМ, проведенной параллельно КН.   Треугольник АВН - прямоугольный, угол НВА= 90º-30º=60º. ВН=АВ*sin 30º=(5:√3)*1/2=(5:√3)/2   Если плоскость α проходит через прямую a, параллельную плоскости  β, и пересекает эту плоскость по прямой b, то  b || a.    ВС параллельна плоскости β, которая пересекает плоскость α по прямой КН ⇒ ВС и КН - параллельны. АР - общий перпендикуляр к ВС и КН, ⇒ треугольник АРВ - прямоугольный. АР=АВ*sin 60º=(5:√3)*√3):2=5/2 Из Р опустим перпендикуляр  РМ на плоскость β  РМ || ВН ⇒ РМ=ВН =(5:√3)/2 Треугольник РАМ - прямоугольный. АМ - проекция АР на плоскость  β , АР⊥КН. По т. о трех перпендикулярах  АМ  ⊥ КН, ⇒ ∠ РАМ - линейный угол  двугранного угла между  плоскостями  α и  β. sin ∠РАМ = РМ:АР={(5:√3)/2 }:5/2=1/√3 =0,57735 ≈ 0,5774 По таблицам Брадиса это синус угла 35º16'