в равнобедренном треугольнике ABC длина боковых сторон AD и BC относится к длине основания AC как 5:6 .найти длину высоты AD , если расстояния от некоторой точи M треугольника ACD до его стороны AC, AD и CD соответственно равны 9, 9, и 3

Опустим из В высоту на АС. В  прямоугольном тр-ке ВСН отношение катета НС к гипотенузе ВС=3:5.  ⇒ тр-к ВНС - египетский, и НС:ВН:ВС=3:4:5. ( можно проверить т.Пифагора) Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикулярного к ней отрезка. Так как расстояние от М до сторон АD и АС одинаково, то по свойству биссектрисы угла точка М лежит на биссектрисе угла DАС и является центром вписанной в этот угол окружности с радиусом МТ=МЕ=9. Нарисуем эту окружность. Проведем радиус МР как продолжение перпендикуляра из М к DС. Проведем через Р касательную ОК. ОК||МТ⇒  OK|| DC, треугольник АОК - прямоугольный и подобен треугольнику АDС. В то же время тр-к АDС подобен треугольнику ВНС - оба прямоугольные с общим углом С. ⇒Треугольник АОК - подобен тр-ку ВНС и ОК:АО:АК=3:4:5 Пусть коэффициент этого отношения будет х. Тогда  ОК=3х, АО=4х, АК=5х ОР=ТМ=ТО=МР=R=9 Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности r=(а+b-c):2 , где  a и b- катеты, с - гипотенуза. 18=3х+4х-5х ⇒ х=9 АО=4*9=36 В треугольнике АОК  отрезок ДО=ТО-ТД=9-3=6 АD=36-6=30