ЕГЭ C2.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра, которой равны 1, найти расстояние между  AB и CB1..

Найдем высоту СН треугольника АВС; она равна (корень из 3)/2; СВ1=корень из 2; построим треугольник СНВ1, он прямоугольный; теперь найдем высоту НН1; НН1*СВ1=СН*НВ1; НН1=(корень из 3)/4

Прямая АВ II плоскости CА1В1, так как AB II A1B1. 

Плоскость СА1В1 содержит прямую СВ1, скрещивающуюся с АВ. 

Поэтому нужное расстояние - это расстояние от АВ до плоскости СА1В1. 

Пусть М - середина АВ, М1 - середина А1В1. 

Тогда плоскость ММ1С1С перпендикулярна АВ, поскольку АВ перпендикулярна 2 прямым из этой плоскости - СМ и СС1. 

Линия пересечения плоскостей СА1В1 и ММ1С1С - это прямая СМ1, она же диагональ прямоугольника ММ1С1С, она же - гипотенуза прямоугольного треугольника ММ1С.

Если теперь в треугольнике ММ1С провести высоту МН к М1С, то эта высота МН будет перпендикулярна М1С и, само собой, прямой А1В1, поскольку А1В1 перпендикулярно плоскости ММ1С. То есть МН перпендикулярно плоскости СА1В1, и поскольку точка М принадлежит АВ, длина этой высоты и есть искомое расстояние.

Итак, надо найти высоту к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ММ1С, катеты которого такие

ММ1 = АА1 = 1; CМ = √3/2 (CM - высота в правильном треугольнике со стороной 1)

Отсюда СМ1^2 = 1 + 3/4 = 7/4; CM = √7/2;

высота к гипотенузе находится просто (S = ab/2 = ch/2 => ab = ch)

MH = 1*(√3/2)/(√7/2) = √(3/7)