Докажите, что биссектриса СК прямого угла треугольника АВС
делит пополам угол между высотой СН и медианой СМ. Найдите сто-
роны треугольника АВС, если НК = 4 и КМ = 5

А как проще всего доказать, что между параллельными хордами заключены равные дуги?:)

а как найти стороны треугольника, зная HK и KM?

Я так понимаю это задачи из зфтш физ.тех?

Я понятия не имею, в каком именно сборнике её нашли. Но для понимания всяких скрытых от простых школьников свойств описанной окружности это полезная задачка. Но на самом деле нужен комплекс задач, включая теорему Эйлера, свойства ортотреугольника и еще много чего. В мое время это все вообще не рассказывали.

Описанная вокруг ABC окружность имеет центр в точке M. Пусть другой конец диаметра, проходящего через точку C - точка Е.Кроме того, пусть точка F на этой окружности лежит на продолжении CH.Поскольку CE - диаметр, то угол EFC прямой, то есть EF II AB. Биссектриса угла ABC делит дугу AFEB пополам. Пусть точка N на окружности лежит на продолжении биссектрисы, тогда дуги AN и NB равны (это дуги в четверть окружности). Из параллельности EF и AB следует что дуги AF и BE равны, следовательно, равны и дуги FN и NE. Поэтому CN - биссектриса угла FCE, что и требовалось доказать.