Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между
которыми она проходит.

Продлим медиану BD за сторону AC, к которой она проведена на её длину. Получим точку EABCE параллелограмм, в котором BE=2BD, CE=AB. В треугольнике BCE сторона BE меньше чем BC+CE, следовательно, BD меньше чем (BC+CE)/2=(AB+BC)/2