Помогите решить,очень надо.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 12 см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти объем пирамиды.

 

построить высоту пирамиды H

получится прямоуг.треуг. с одним катетом H, гипотенузой=боковому ребру и угол между боковым ребром и вторым катетом будет=60 - по условию

по определению синуса - H = 12sin60 = 6корень(3)

в этом треугольнике второй острый угол =30 (180-60-90) и катет, лежащий против угла в 30 градусов = половине гипотенузы => второй катет (обозначим его R) = 12/2=6

V = 1/3 * Sосн * H

В основании равносторонний треугольник (пирамида правильная) обозначим ABC, мы здесь нашли отрезок AO, где O - основание высоты пирамиды - это часть высоты треуг. ABC, высоты в правильном треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины => высота основания = 6+(6/2) = 6+3=9

Найдем сторону основания из треуг. AOC: в нем гипотенуза=R=6, высота=R/2=3, второй катет по т.Пифагора = корень(6*6-3*3) = корень(27) = 3корень(3) - это половина стороны основания (в равностороннем треуг. высоты=медианам)

сторона основания = 6корень(3)

Sосн = 1/2 * 6корень(3) * 9 = 27корень(3)

V = 1/3 * 27корень(3) * 6корень(3) = 54 * 3 = 162