Решите

1. Доказать, что биссектриса внутреннего угла А треугольника АВС делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и АС. АС/АВ=МС/ВМ. Указание: Для доказательства построим на АМ точку N такую, что СМ=СN. (СМ во влажения)

 

2. Решить уравнение

[tex]\frac{1}{x-7}+\frac{1}{x-6}+\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x-4}=0[/tex]

 

3. Дидона, сестра царя Тира, собиралась огородить веревкой длины 240 м участок земли, имеющий форму круга. Однако веревка случайно порвалась на две части так, что суммарная площадь двух непересекающихся круглых участков, огороженных получившимися кусками веревки, уменьшилась в 1,6 раза по сравнению с первоначальной. Найти длину каждого из кусков веревки.

 

4. Четыре параллели, между которыми последовательные расстояния относятся, считая сверху 2:3:4, пересечены двумя сходящимися прямыми. Из полученный параллельных отрезков крайние равны 60 и 96. Определить средние отрезки.

1

Доказать АС/АВ=МС/ВМ

 Указание: Для доказательства построим на АМ точку N такую, что СМ=СN. (СМ во влож)

по рисунку

< AMB = < CMN - вертикальные

< СNM = < CMN - углы при основании в равнобедренном треугольнике  CMN

тогда  

∆ BAM и ∆NAC - подобные по двум углам

<BAM = <NAC - АМ - биссектриса <A

< AMB = < CMN = < CNA

из подобия треугольников следует отношение СООТВЕТСТВУЮЩИХ сторон

AC / AB = CN / BM  <----по условию СМ=СN.

тогда

AC / AB = CМ / BM  - ДОКАЗАНО

2

1/(x-7)+1/(x-6)+1/(x-5)+1/(x-4)=0    тупо  приведем к одному знаменателю

[ (x-6)(x-5)(x-4)+(x-7)(x-5)(x-4)+(x-7)(x-6)(x-4)+(x-7)(x-6)(x-5) ] / (x-7)(x-6)(x-5)(x-4)=0

перемножим , вынесем общие члены

2*(2x-11)(x^2-11x+29) / (x-7)(x-6)(x-5)(x-4)=0

каждый множитель может быть равен  0

2x-11 = 0  ;  x1=11/2 <---первый корень

x^2-11x+29 =0

D = 5 ; √D =√5 ; x2 = (11-√5 ) /2  ;x3 = (11+√5 ) /2 <---еще два корня

ОТВЕТ   x1=11/2   ;   x2 = (11-√5 ) /2  ;    x3 = (11+√5 ) /2