Геометрия 11 класс, тема "Усеченная пирамида"

Рисунки ко всем задачам прикреплены и пронумерованы.№ 1.Дано: MABCD - правильная 4-угольная пирамидаABCD - квадратAB=6 см., MF=4 см - апофема пирамидыMH - высота пирамиды.Найти: а) MD - ?б) MH - ?в) Sпол - ?Решение:а) т.к. MF - апофема пирамиды, то MF⊥AD, ΔAMD - равнобедренный (AM=MD) => MF - высота, медиана и биссектриса, значит AF=FD=3 см.ΔMFD - прямоугольный, по теореме Пифагора: MD=√(MF²+FD²)=√(4²+3²)=5 см.б) ΔMFH - прямоугольный (MH⊥FH) => по теореме Пифагора: MH=√(MF²-FH²)FH - радиус вписанной в квадрат окружности, равен половине стороны квадрата, FH=3 см.MH=√(MF²-FH²)=√(4²-3²)=√7 см.в) Sпол= Sосн+SбокSбок=0.5*Pосн*MF=0.5*(6*4)*4=48 см²Sосн=6*6=36 см²Sпол=48+36=84 см²№ 2.Дано: DABC - правильная треугольная пирамидаSосн=4√3 дм²Sпол=16√3 дм²Найти: 1) DC - ?2) плоский угол при вершине D=∠ADC - ?Решение: 1) Sбок=Sпол-Sосн=16√3-4√3=12√3 дм²Sбок=0.5*Pосн*DFпо формуле Герона: Sосн=√p(p-AC)³=(p-AC)*√p(p-AC)p=P/2=3AC/2 - полупериметр основанияSосн= дм.Pосн=3AC=3*4=12 дм.Sбок=0.5*Pосн*DF=0.5*12*DF=12√3DF=2√3 дм.ΔFDC - прямоугольный, по теореме Пифагора: DC=√(DF²+FC²)=√(12+4)=4 дм.2) ΔFDC - прямоугольный, по определению синуса:sin(∠ADC)=FC/DC=2/4=1/2 => ∠ADC=30°№ 3.Дано: MKNABC - усеченная правильная пирамидаABC - большее основание, MNK - меньшее основаниеMN=2 см.NC=√2 см.∠ACN=45°Найти: 1) Sбок.ус - ?2) Sбок.ус/Sбок - ?Решение:1) Sбок.ус = 0.5*(P1+P2)*OFOF - апофема усеченной пирамидыP1=PabcP2=Pmnf=3*2=6 см.Рассмотрим трапецию MNCA - равнобедренная (AM=NC) => OF=1 см.(т.к. OF является высотой трапеции).AC=1+2+1=4 см. (см. рисунок)P1=3*4=12 см.Sбок.ус = 0.5*(12+6)*1=0.5*18=9 см²2) Sбок=0.5*P1*DF=0.5*12*DF=6DFВ ΔMDN - равнобедренный: ON=OM=1 см.∠DNO=∠NCA=45° (как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей DC) => ON=DO=1 см.DF=DO+OF=1+1=2 см.Sбок=6DF=6*2=12 см²Sбок.ус/Sбок=9/12=3/4=0.75=75%