Через середины сторон DB и DG треугольника DBG проведена прямая KN ,которая отсекает от него треугольник DKN  Треугольник DBG  и DKN подобны.Опредилите какую часть площади треуголник DKN состовляет от площади  треугольника DBG

Вот Вам решение, от которого учитель сильно занервничает. :)

Чтобы было легче объяснять, напомню - K - середина DB, N - середина DG. Пусть M - середина BG.

В условии проведена прямая KN II BG.

Если провести ЕЩЕ и прямые MK II DG и MN II DB, то треугольник DBG будет разрезан на 4 РАВНЫХ треугольника, одним из которых будет DKN, еще три - это BMK, GMN и KNM.

Все они очевидно подобны из за равенства углов, и имеют общие соответственные стороны с треугольником KNM, то есть, по просту, все равны треугольнику KNM, то есть все равны между собой :).

Поэтому площадь DKN составляет четверть площади DBG.

Стадартное решение обычно связано с тем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров.