1). На рисунке 1 отрезки АВ и СD имеют общую середину О. Докажите, что DAO=CBO .
С
А O

В
D

2). Луч AD – биссектриса угла А. На сторонах уг-ла А отмечены точки В и С так, что АDВ = АDС . Докажите, что АВ = АС .

3). В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5 : 2 . Найдите стороны треугольника.

1. АО = ОВ и СО = OD, так как О - середина отрезков АВ и CD,

∠АОD = ∠ВОС как вертикальные, ⇒

ΔAOD = ΔBOC по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, следовательно ∠DAO = ∠CBO.

2. ∠BAD = ∠CAD, так как AD - биссектриса угла А,

∠ADB = ∠ADC по условию,

AD - общая сторона для треугольников ADB и ADC, значит

ΔADB = ΔADC по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны, значит АВ = АС.

3. Для построения медианы ВВ₁ надо построить середину отрезка АС.

1) Проведем две окружности с одинаковым произвольным радиусом (большим половины стороны АС) с центрами в точках А и С.

Точки пересечения окружностей Е и F.

2) Проведем прямую EF.

Точка пересечения прямой EF и стороны АС - B₁.

В₁ - середина стороны АС.

3) Проведем отрезок ВВ₁.

ВВ₁ - искомая медиана.