в прямоугольном треугольнике опущенная на гипотенузу высота и разность проекций катетов на гипотенузу равна 6.Найдите длину гипотенузы?

Обозначим вершины треугольника А,В,С. Угол С=90°

Высота СН, 

ВН - проекция катета СВ 

АН - проекция катета СА 

СН=(АН-СН)=6

Пусть длина ВН=х

Тогда АН=х+6

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: 

СН²=(х+6)•х ⇒

х²+6х-36=0

Решив квадратное уравнение, найдем два корня, один из которых отрицательный, его в расчет брать не будем. 

х=(-6+6√5):2=(6√5-6):2

Длина гипотенузы АВ равна 2х+6, т.е. 6√5- 6 +6

АВ=6√5