Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, при этом DA AB, CB AB и АD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите CD

Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, при этом DA⊥AB, CB⊥AB и АD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите CD.

Проведем ВК║DA и ВК = DA. Тогда ABKD - параллелограмм, и так как DA⊥AB - прямоугольник.

АВ⊥ВК, АВ⊥СВ, значит АВ⊥(СВК)  и ∠СВК = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями треугольников.

Так как отрезок АВ перпендикулярен плоскости СВК, то и плоскость АВС перпендикулярна плоскости СВК, поэтому перпендикуляр СН к плоскости АВС будет лежать в плоскости СВК.

ΔСВН: ∠СНВ = 90°, ∠СВН = 60°, ⇒ ∠ВСН = 30°, тогда

            НВ = СВ/2 = 1,5

            по теореме Пифагора:

            СН = √(СВ² - ВН²) = √(9 - 9/4) = √(27/4) = 3√3/2

DK = AB = 4,  КВ = AD = 2 как противоположные стороны прямоугольника,

КН = КВ - ВН = 2 - 1,5 = 0,5

ΔDKH: ∠DKH = 90°,  по теореме Пифагора

           DH = √(DK² + KH²) = √(16 + 1/4) = √(65/4) = √65/2

ΔCDH: ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора

           CD = √(CH² + DH²) = √(27/4 + 65/4) = √(96/4) = √23