перпендикуляр проведённый из вершины параллелограмма к его диагонали делит эту диаганаль на отрезки длиной 6 и 15см. разность длин сторон параллелограмма равна 7 см. Найти длины сторон параллелограмма и его диаганалей.

Обозначим стороны параллелограмма как AB =CD и BC=AD. Опустим  из  вершины B на диагональ AC перпендикуляр BF. Образовались 2 прямоугольных треугольника ABF и BCF. По теореме Пифагора в каждом из этих треугольников квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

AB в квадрате = AF в квадрате +BF в квадрате

BC в квадрате = BF в квадрате +FC в квадрате

Вычтем почленно второе уравнение из первого:

AB в квадрате -  BC в квадрате =AF в квадрате -FC в квадрате,

 т.е.  AB в квадрате -  BC в квадрате= 225 - 36 = 189

С другой стороны, AB в квадрате -  BC в квадрате = (AB + BC) * (AB - BC), т.к. разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и их разности.

По условию задачи (AB - BC)= 7   (1),

значит, (AB + BC) = 189/7,  т.е. (AB + BC) = = 27  (2).

Зная сумму двух сторон и их разность, легко найти каждую сторону параллелограмма. Сложим почленно уравнения (1) и (2), получим: 

 2 AB = 34,  т.е. AB = 17, а BC = 10.