Гипотенуза прямоугольного треугольника равна (корень из 2). Найдите углы треугольника, зная, что наименьшее возможное значение суммы расстояния от точки внутри треугольника до его вершин равно (корень из 7).

На координатной плоскости есть окружность радиусом √2/2, с центром в начале координат. На отрезке, диаметре этой окружности, с концами А (0, √2/2) и В (0,-√2/2) построен равносторонний треугольник АВС1.

Его третья вершина лежит в точке С1 (√6/2,0).

Окружность с центром в этой точке и радиусом √7, (если есть решение) пересекает первую окружность в двух точках, симметричных относительно оси X. Координаты точки С в верхней полуплоскости (то есть y>0) находятся так.

x^2 + y^2 = 1/2;

(x - √6/2)^2 + y^2 = 7;

Так вот, у этой системы НЕТ решения, потому что 

√6/2 + √2/2 < √7;

То есть эти окружности не пересекаются.

Поэтому при любом угле треугольника сумма расстояний от вершин до точки Ферма (то есть наименьшее возможное значение этой суммы) будет МЕНЬШЕ √7. 

Не похоже, что я где то ошибся, но все может быть, проверьте.

Теорию точки Ферма (она же точка Торичелли) в треугольниках я тут излагать не стану. Достаточно понимать, что для прямоугольного треугольника она СУЩЕСТВУЕТ и лежит внутри треугольника. 

Расстояние от вершины С, лежащей на окружности  x^2 + y^2 = 1/2, до точки С1 ОБЯЗАТЕЛЬНО должно равняться заданному в задаче √7.

(Может, в условии другое число, например, гипотенуза √3, или нвр = √5)

Кстати, для прямоугольного треугольника довольно легко из теоремы косинусов получить соотношение

m^2 = c^2*(1 + (√3/2)*sin(2*Ф))

где Ф - острый угол треугольника, с - гипотенуза, m - минимальная сумма расстояний от внутренней точки до вершин треугольника.

Отсюда сразу видно, что при (m/c)^2 = 7/2; sin(2*Ф) >1; чего быть не может.

Отношение (m/c)^2 максимально равно 1 + √3/2 при Ф = 45 градусов, это примерно 1,866, что почти в два раза меньше, чем 7/2