В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат с диагональю 4√2. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Большее ребро пирамиды равно 4√5. Найти угол между плоскостью основания и плоскостью грани SCD.

Грань SCD и плоскость основания пирамиды пересекаются по прямой CD. Чтобы найти угол между этими плоскостями, рассмотрим треугольник SBC. Треугольник SBC -прямоугольный: SB перпендикулярна плоскости основания, а значит любой прямой, лежащей в плоскости основания, SB перпендикулярна BC. BC перпендикулярна CD, как стороны квадрата. SC- наклонная к плоскости основания перпендикулярна прямой CD по теореме о трех перпендикулярах-прямая (CD) проведенная в плоскости через основание наклонной(SC) перпендикулярно ее проекции (BC) на эту плоскость перпендикулярна и к самой наклонной.SC лежит в плокости грани SCD и перпендикулярна CD, BC лежит в плоскости основания и перпендикулярна CD , следовательно угол SCB -это угол между двумя плоскостями ABCD и SCD. Рассмотрим треугольник SBC  и из этого треугольника найдем  угол SCB.Найдем сторону квадрата: BD²=2BC²,  (4√2)²=2BC², BC²= 16·2/2=16, BC=4ИЗ треугольника SBD ( треугольник SBD прямоугольный так как SB перпендикулярно плоскости основания)   найдем SB:SB²=SD²-BD²SB²=(4√5)²-(4√2)²= 16·5-16·2=80-32=48, SB=√48=4√3.Из треугольника SBC : tg∠SCB=SB/BC=4√3/4=√3tg∠SCB=√3, ∠SCB=60 градусов