Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Допустим, имеем параллелограмм ABCD, в котором AC и BD - диагонали.Доказательство:1. Необходимо опустить перпендикуляры BK и CF на прямую, которая содержит сторону AD. 2. Рассмотрим ΔBDK:По теореме Пифагора:BD²=KD²+BK²3. Рассмотрим ΔACF:По теореме Пифагора:AC²=AF²+CF²4. Складываем два выражения в столбик:BD²=KD²+BK² +AC²=AF²+CF²=AC²+BD²=KD²+BK²+AF²+CF²По свойству высот в параллелограмме, BK=CF ⇒ AC²+BD²=2BK²+KD²+AF²5. Рассмотрим ΔABK:По теореме Пифагора:BK²=AB²-AK²6. Так как KD=AD-AK, AF=AD+FD ⇒ AC²+BD²=2(AB²-AK²)+(AD-AK)²+(AD+FD)²7. BK=CF, AB=CD ⇒ ΔABK=ΔDCF - по свойству катета и гипотенузы ⇒ AK=DF ⇒ AC²+BD²=2(AB²-AK²)+(AD-AK)²+(AD+AK)²AC²+BD²=2AB²-2AK²+AD²-2AD*AK+AK²+AD²+2AD*AK+AK²AC²+BD²=2AB²+2AD²AC²+BD²=2(AB²+AD²)Что и требовалось доказать.