сторони трикутнка 13,14,15 см.Знайти:довжину від площини трикутника до центра кулі яка дотикається до всіх сторін трикутника.радіус 5 см

Для решения задачи нужна площадь треугольника. 

Её можно тупо сосчитать по формуле Герона, а можно и сообразить, что треугольник "составлен" из двух Пифагоровых треугольников со сторонами (5,12,13) и (9,12,15), так, что катет 12 у них общий, а катеты 5 и 9 вместе составляют сторону 14 исходного треугольника.

То есть высота к стороне 14 равна 12.

Итак, площадь треугольника S = 14*12/2 = 84;

Полупериметр равен (13 + 14 + 15)/2 = 21;

Поэтому радиус вписанной окружности равен r = 84/21 = 4;

Сечение шара плоскостью треугольника как раз и дает нам круг, ограниченный вписанной окружностью. При этом радиус этой окружности r, расстояние d от центра до плоскости сечения (до плоскости треугольника) и радиус шара R связаны теоремой Пифагора.

R^2 = r^2 + d^2; 

Отсюда d = 3; (тут Пифагорова тройка 3,4,5)