К плоскости треугольника со сторонами 8см, 15см, 17см из вершины его среднего угла проведен перпендикуляр длиной 6см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до противоположной стороны.

Задача имеет смысл только если перпендикуляр проведен К ПЛОСКОСТИ треугольника.

На самом деле всё не просто, и даже не очень просто, а - ещё проще.

Треугольник со сторонами 8,15,17 прямоугольный, поскольку 8^2 + 15^2 = 17^2 (это Пифагорова тройка). Пусть прямой угол С.

"Средний" угол - это угол между катетом 8 и гипотенузой 17. Пусть это вершина А. Противоположная сторона - это ВС.

Конец перпендикуляра к плоскости АВС из точки А я обозначу Е.

Если соединить Е и С, то ЕС будет перпендикулярно ВС. Это потому, что АС перпендикулярно ВС и АЕ перендикулярно ВС (АЕ перпендикулярно всем прямым в плоскости АВС), следовательно, ВС перпендикулярно ВСЕМ прямым в плоскости АСЕ, в том числе ЕС. Поэтому ЕС и есть искомое расстояние. 

Треугольник АЕС прямоугольный и имеет катеты АЕ = 6 и АС = 8, откуда ЕС = 10 (это "египетский" треугольник, то есть подобный треугольнику со сторонами 3,4,5. "Египетский" треугольник - это простейший из Пифагоровых треугольников, то есть прямоугольных треугольников, длины сторон которого - целые числа).