В правильной шестиугольной призме ABCTEMA1B1C1T1E1M1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра АА1 до прямой ВТ1

Тут красот не будет, у задачи нет технически простого решения. 

1. Надо найти ВТ. 

Если центр правильного шестиугольника в основании обозначть О, то ВСТО - ромб с углом 120 градусов, и стороной 1, поэтому его большая диагональ ВТ равна √3 (удвоенная высота правильного треугольника). Само собой, В1Т1 имеет ту же длину √3.

2. Треугольник ВВ1Т1 - прямоугольный с катетами ВВ1 = 1 и В1Т1 = √3, отсюда гипотенуза ВТ1 = 2.

3. Теперь надо построить плоскость, проходящую через ВТ1 и середину АА1 - пусть это точка Р.

(Построить плоскость одновременно означает - построить сечение, хотя все детали этого сечения не понадобятся.)

4. В плоскости грани АВВ1А1 надо провести ВР и продолжить до пересечения с продолжением А1В1 в точке К. Поскольку АР = РА1, то В1А1 = А1К, и В1К = 2, отсюда из треугольника ВВ1К с катетами 1 и 2 находится ВК = √5.

5. В плоскости верхнего основания надо соединить точку К с точкой Т1. Из треугольника В1Т1К с катетами 2 и √3 получается КТ1 = √7. 

6. В треугольнике ВТ1К точка Р (середина АА1) является серединой ВК. Поэтому расстояние от неё до ВТ1 равно половине высоты треугольника В1КТ к стороне ВТ1.

7. Вот к чему свелась задача. 

В треугольнике ВТ1К со стронами ВТ1 = 2, ВК = √5, КТ1 = √7, надо найти половину высоты к стороне ВТ1.

(Конечно, можно вычислить площадь по формуле Герона, и так найти высоту, но тут можно сильно замучатся с корнями :) хотя я бы посоветовал хотя бы попробовать такой метод.)

8. Надо теперь нарисовать плоский чертеж такого треугольника - так проще решать. Далее речь идет только о треугольнике ВТ1К. 

Пусть КН - высота к ВТ1. Обозначим КН = h; BH = x;

Тогда из треугольников BKH и KHT1 получается 

x^2 + h^2 = 5;

(2 - x)^2 + h^2 = 7;

Если раскрыть скобки, то

4 - 4*x + x^2 + h^2 = 7; но x^2 + h^2 = 5; откуда 4 - 4*x = 2; x = 1/2; h^2 = 5 - 1/4 = 19/4;

h = √19/2;

А искомое расстояние равно половине h, то есть

Ответ √19/4;

Вроде так....