окружность проходит через середины гипотенузы АВ и катета ВС прямоугольного треугольника АВС и касается катета АС.В каком соотношении точка касания делит катес АС? помогите пожалуйста решить

 

Очень красивое условие, это где такие придумывают?:)

Пусть точка касания АС с окружностью - Р.

Пусть середина ВС - точка К, середина АВ - точка Е.

Если соединить эти точки пересечения окружности со сторонами, то полученная хорда КЕ равна половине катета АС, как средняя линяя. А если еще и опустить перпендикуляр из середины гипотенузы на АС - пусть его основание М, то он поделит АС пополам, то есть СМ = МА. При этом точка касания Р делит СМ пополам, поскольку равноудалена от К и Е (очень советую внимательно изучить этот момент, здесь нужно точное обоснование, сделайте его!), то есть лежит на перпендикуляре, проходящем через середину КЕ, а значит и СМ, то есть как раз через точку касания Р. 

Поэтому СР = РМ, и СР/РА = 1/3