Помогите решить задачу. В трапеции ABCD меньшее основание BC равно a, прилежащие к этому основанию углы равны 105°, диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Способ 1

Прилежащие к меньшему основанию углы равны 105°, значит, трапеция - равнобедренная, и вокруг нее можно описать окружность, как вокруг четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180° (свойство). 

Пусть центр описанной окружности - О.  

Проведем через середины оснований высоту трапеции НК. 

Середина ВС- Н, середина АD - К, и точка пересечения диагоналей - М.  

Отрезок НК перпендикулярен основаниям, делит их пополам и проходит через центр окружности (свойство радиуса и хорды). 

Сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных оснований трапеции секущей АВ равна 180°. 

Углы трапеции при основании АD равны 180°-105°=75°

Соединим вершины А и В трапеции с центром О окружности. 

Треугольник АОВ - равнобедренный со сторонами, равными R.

Его углы при АВ равны ∠ СВА- ∠СВО=105°-60°=45°. 

Следовательно,  ∠ ОАК= ∠ВАК-∠ ВАО=75°- 45°=30°

В треугольнике ВОС с равными радиусу боковыми сторонами центральный угол ВОС опирается на ту же дугу, что вписанный угол ВDС, поэтому вдвое больше его (свойство). 

∠ВОС=30°•2=60°, отсюда и углы при ВС=60°. 

∆ ВОС - равносторонний, ВО=ОС=ВС=R=а.

Высота этого треугольника ОН=а•sin 60°=(а√3)/2

   В ∆ ОАК противолежащий углу 30° катет ОК=АО:2=а/2. 

Высота трапеции НК=НО+ОК=(а√3)/2+a/2=a•(√3+1):2

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, т.е. на  среднюю линию. 

 Высота равнобедренной трапеции, диагонали которой  пересекаются под прямым углом, равна её средней линии. 

Поэтому S=[a•(√3+1):2]• [a•(√3+1):2]=а²•(2+√3):2 (ед. площади)

***********************

Способ 2

Поскольку углы при ВС равны, трапеция АВСD- равнобедренная, и углы при АD равны 180°-105°=75°

Диагонали равнобедренной трапеции равны и при пересечении образуют с основаниями равнобедренные треугольники.  По условию диагонали  взаимно перпендикулярны, ⇒ ∆ ВМС и ∆ AMD - равнобедренные прямоугольные. Углы  в этих треугольниках при ВС и AD равны 45°

Площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию. 

Высота h равнобедренной трапеции, чьи диагонали взаимно перпендикулярны, равна ее средней линии и равна сумме высот треугольников BMC и AMD.

h=НМ+МК. S=h² 

НМ=0,5•BС=а/2 ( по свойству медианы и высоты равнобедренного  прямоугольного треугольника)

МC=ВС•sin 45°= (a√2):2

MD=MC•tg60°=(a√2•√3):2

МК=MD•sin45º=[(a√2•√3):2]•√2/2=a√3/2 

h=a/2+a√3/2=a•(1+√3)/2

S=[a•(1+√3)/2]²=а²•(2+√3):2 (ед. площади)