Точки M и N середины сторон соответственно BC и CD параллелограмма ABCD. Отрезки AM и BN пересекаются в точке О.Найдите отношение MO/OA.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Тогда O — середина диагонали BD. Значит, CO — медиана треугольника BCD, а т.к. DM и BN — две другие медианы этого треугольника, то они пересекаются в точке, лежащей на отрезке CO, а значит, и на отрезке AC.

                  В               M                 C

                           O

                                            N

A                               D                               K

Продлим BN до пересечения с AD  в точке K.  Треугольники  BNC  DNK  равны по стороне и прилежащим к ней углам (CN=DN, угол BNC=DNK - вертикальные, угол  BCN=NDK - внутренние накрест лежащие при BC||AK, секущей CD). Значит BC=AD=DK, AK=2AD=4BM (BC=2BM).

Треугольник BOM подобен АОК (по трем углам: ВОМ=АОК-вертикальные, ОАК=ВМО-внутренние накрест лежащие при параллельных ВМ и АК, секущей АМ, третьи углы равны из равенства двух первых углов). Тогда ВМ:АК=ВМ:4ВМ=1:4 и ОВ:АО тоже 1:4

.

BN ∩ AD = L

ΔBNC = ΔLND по стороне и двум углам прилежащим к ней (CN=DN по условию; ∠BNC=∠LND как вертикальные; ∠NCB=∠NDL как накрест лежащие), поэтому BC=LD.

Пусть BM = x, тогда BC = 2x.

LD=BC=AD ⇒ AL=2BC=4x

ΔMOB ~ ΔAOL по трём углам (∠MOB=∠AOL как вертикальные; ∠OBM=∠OLA и ∠OMB=∠OAL как накрест лежащие), поэтому

Ответ: 1/4.