Только ответ! Задание за 40 баллов
Из точки M, лежащей внутри треугольник ABC, проведены перпендикуляры MD, ME, MF на стороны BC, AC, AB соответственно. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника DEF, если известно, что BC=a, AC=b и AB=c, MD=k, MF=m.
В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
a=5, b=4, c=6, k=2, m=1.

Тут ведь что занятно - надо найти приблизительное значение n. После того, как n найдено, задача решается в 1 действие. Но для нахождения n в задаче даны все условия. А близость n к 1 позволяет считать, пренебрегая точностью. Если положить (забыв о том, что все величины связаны) n = 1; то S/S1 = 4,8; причем это оценка снизу,

ну, конечно, само значение n =15√7/8 - 4; без инструментов рассчитать несколько сложнее. Тут помог бы хороший чертеж и разумное предположение о величине n.

на самом деле, можно и красиво :) жаль, что я не могу внести это в решение. 15√7/8 = √(15^2*7/8^2) = √(3*3*5*5*7/8^2) = √(35*45/8^2) = √((40^2 - 5^2)/8^2) = 5√(1 - 1/8^2); это приблизительно равно 5(1 - 1/128); то есть n = (прибл) = 1 - 5/128;

Это - совершенно тупая задача, но требующая больших усилий. Этакая задачка для "танков". Тут такие задачи редко встречаются, поэтому я решил выложить решение. С точки зрения математической изюминки задача совершенно пустая.1) пусть S - площадь ABC, S1 - площадь DEF.2) поскольку у треугольника ABC заданы все три стороны, то его площадь фактически тоже задана - она просто считается по формуле Герона. Чтобы потом не тратить место, я её сразу рассчитаю для треугольника со сторонами 5,4,6. p = (5 + 4 + 6)/2 = 15/2; p  - 5 = 5/2; p - 4 = 7/2; p - 6 = 3/2; S^2 = 15*5*7*3/2^4; S = 15√7/4;3) Из трех отрезков, выходящих из точки M, заданы два. Третий ME = n легко рассчитывается, если заметить, чтоS = mc/2 + ka/2 + nc/2; n = (2S - mc - ka)/b; Для заданных в условии числовых значений n = 15√7/8 - 4; это приблизительно 0,960783708246107;4) теперь надо приложить первое и последнее в этой задаче мозговое усилие.Четырехугольник AFME имеет два прямых угла, поэтому сумма двух других углов ∠FAE + ∠FME = 180°; это означает, что sin(∠FAE) = sin(∠FME) = sin(A); где A - угол треугольника ABC. Площадь треугольника FME равна mn*sin(∠FME)/2 = mn*sin(A)/2;С другой стороны, S = bc*sin(A)/2; поэтому площадь треугольника FME находится так Sfme = S*mn/bc; точно так же находятся площади треугольников FMD и DME, если результаты сложить, то очевидно получаетсяS1/S = mn/bc + mk/ac + kn/ab;5) нужно найти S/S1, округленную до ближайшего целого. Для этого полезно уметь пользоваться Excel :).Для S1/S получается приближенно 0,202777692001532; обратная величина 4,93150893537365;то есть в ответе должно стоять 5;Поскольку n очень близко к 1, этот ответ легко получить и простыми арифметическими подсчетами.