Докажите, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в
прямоугольном треугольнике равна полусумме катетов

"Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r)."почему?)

а,всё,понял

спасибо)

спасибо)

в треугольнике: катеты а и b, гипотенуза  с, прямой угол С, R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.Начнём с описанной окружности. Поскольку  угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2RТеперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r. Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны (а - r) и (b - r).Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r). Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r.Но ранее мы получили, что с = 2RТогда 2R = a + b - 2r2R + 2r = a + bR + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.

стороны треугольника являются касательными к вписанной окр, отсюда отрезки касательных из вершин попарно равны. Я все обозначил на рисунке. Также  a  и b -катеты.А радиус описанн. окр. равен половине гипотенузы.Теперь решаем.a=y+rb=x+ra+b=x+r+y+r=(x+y)+2r=2R+2r    a+b=2(R+r)  R+r=(a+b)/2что и требовалось доказать.