Прямоугольный треугольник ABC. А прямой угол. От А проводим высоту АН к ВС. Итого ВН =6, АС = 4. Нужно найти площадь треугольника 

 Катет прямоугольного треугольника  - среднепропорцианальное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Из этого:

АС в квадрате = ВС х НС

НС - а

ВС = 6 + а

АС в квадрате = (6 + а) х а

4 в квадрате = 6а + а в квадрате

а в квадрате + 6а -16 = 0

Решаем квадратное уравнение

а = (- 6 + - (плюс-минус) х корень ( 6 в квадрате + 4 х 1 х 16)) / 2 х 1

а = (-6  + - (плюс-минус) 10) /2

а1 = -8

а2 = 2

отрицательных значений для катета быть не может, значит НС=2

ВС=6+2=8

АВ = корень (ВС в квадрате - АС в квадрате) =корень (64 - 16) =6,9

Площадь = 1/2 АВ х АС = 1/2 (6,9 х 4)=13,8