Биссектриса угла С равнобедренного треугольника АВС пересекает боковую сторону АВ в точке D. Площади треугольников ACD и BCD равны соответственно 4 и 2,5. Найдите длину основания АС треугольника АВС.

РЕШЕНИЕ

площадь треугольника АВС  S(авс) = S(асd) +S(bcd) =4+2.5 =6.5

из вершины С можно также провести Высоту (h) к стороне АВ

тогда площади треугольников

S(ACD) = 1/2*AD*h

S(BCD) = 1/2*BD*h

разделим (1) на  (2)  или наоборот

S(ACD) / S(BCD) = AD / BD

AD / BD = 4 / 2.5 =  8 / 5

тогда на основании теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника

АС / ВС = АС / АВ = AD / BD =  8 / 5

из вершины В можно также провести Высоту  ВК  к стороне АС

тогда в прямоугольном треугольнике BKC  KC / BC = (AC/2) / BC = (8/2) / 5 = 4 / 5

cos<C = KC / BC = 4 / 5

sin<C = √(1-(cos<C)^2) =√ (1 - (4/5)^2) = 3/5 =0.6

обозначим

АС =8x  ;  ВС=5x

тогда S(авс) =1/2*AC*BC*sin<C = 1/2*8x*5x*3/5 =6.5

1/2*8x*5x*3/5 =6.5

12x^2 = 6.5

x^2 = 6.5/12 =13/24

x= √(13/24)= √(13/6)/2

AC = 8x = 8√(13/6)/2 =4√(13/6)

ОТВЕТ   4√(13/6)