Диагонали трапеции OIUA с основаниями OI и UA пересекаются в точке E под прямым углом. Известно, что сторона UA меньше стороны OI и угол O прямой. Биссектриса угла OEA пересекает OA в точке K, а прямая, проходящая через точку K параллельно OI, пересекает прямую IU в точке L. Докажите, что KL и OA равны.

Обозначим OA=OK+AK=1, ∠AOU=∠AIO=a и R - точка пересечения KL и OU. Тогда AU=tg(a), OI=ctg(a), AK/OK=AE/OE=tg(a), откуда OK=1/(1+tg(a)) и AK=tg(a)/(1+tg(a)). KR/AU=OK/OA, т.е. KR=tg(a)/(1+tg(a)) и RL/OI=AK/OA, т.е. RL=1/(1+tg(a)). Значит, KL=KR+RL=1.