В треугольнике ABC угол В равен 99 градусов,AD-биссектриса угла А,угол С меньше угла ADB в пять раз.Найдите градусную меру угла С.

Пусть угол С=х градусов. 

Рассмотрим два треугольника, которые после проведения биссектрисы образовались из треугольника АВС. 

В треугольнике АВD

 угол В=99°,

 угол D=5хугол А=180° -(99°+5х)

В треугольнике АDС

Угол С=х

Угол АDС=180°-х

Угол А=180°-(180°-5х+х)

Приравняем два значения угла А:

180° -(99°+5х)=180°-(180°-5х+х)

180 - 99 - 5х =180 - 180 + 5х -х 

81°=9х

х=9°

Ответ: угол С=9°.  

Вариант решения: Примем угол С равным х. Тогда угол ADB=5x.  По свойству  внешнего угла для ∆ АDC он равен сумме внутренних, не смежных с ним.  ∠АDB= ∠DAC+∠DCA = 5х  ⇒ угол DAC=5х-х=4х.   АD – биссектриса, поэтому  ∠ВАС=2∠DAC=8х. Из суммы углов треугольника ∠А+∠В+∠С=180°⇒

8х+99°+х=180° ⇒ ∠С=х=81:9=9°

Проверка:

угол А=180-99-9=72°

Из треугольника АDС

Угол А:2=180- 9-(180-45)=36°

 72:2=36°