Задача. Через точку Р медианы СС1 треугольника АВС проведены прямые АА1 и ВВ1 (точки А1 и В1 лежат на сторонах ВС и СА). Доказать, что прямые А1В1 и АВ параллельны.

подобие ABC и A1B1C означает равные соответственные углы

смысл доказательства в том, что точки A1 и B1 делят стороны в одинаковой пропорции, если P лежит на медиане.

А не так-то и просто :)Пусть через вершину C проведена прямая, параллельная AB, и A2 - это точка пересечения этой прямой c продолжением прямой AA1;Сразу видно две пары подобных трегольниковТреугольник APC1 подобен треугольнику A2PC; что означает CA2/AC1 = CP/PC1;Треугольник AA1B подобен треугольнику CA1A2, что означаетCA1/A1B = CA2/AB = CA2/(2*AC1) = (1/2)*CP/PC1;То же самое можно сделать "с другой стороны медианы" (отметить на CA2 точку B2 пересечения с прямой BB1, и рассмотреть аналогичную пару подобных треугольников. Однако можно и это не делать - у вершин A и B можно просто поменять местами обозначения A <=> B) то естьCB1/B1A = (1/2)*CP/PC1 = CA1/A1B; то есть A1B1 II AB по теореме Фалеса (ну, или в силу доказанного подобия треугольников ABC и A1B1C, если хотите).