Докажите, что вершины правильного шестиугольника, взятые через одну, являются вершинами правильного треугольника.

да ну вас, блин :( правильный шестиугольник переходит в себя при повороте на угол, кратный 60 градусам, вокруг центра. Это автоматически(!) все доказывает.

хотя в вашем доказательстве ничего плохого нет, конечно :)

Соединим вершины через одну.Получится 3 равных равнобедренных треугольника ( по 2 стороны правильного шестиугольника, основанием является сторона нового треугольника) - они равны как имеющие 2 равных стороны и угол между ними.Значит 3 стороны нового треугольника равны, т.е. он -правильный.