Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Двугранный угол при основании равен а (альфа). Найти объём пирамиды.

1) основанием высоты DH является точка Н, точка пересечения медиан (биссектрис и высот) основания пирамиды. OB - высота, медиана и биссектриса основания ABC

2) ОВ = 3· ОН, из ΔОDH найдем НО: tgα = DH:OH ⇒OH = DH:tgα ⇒ OB = 3· DH:tgα = 18:tgα

3) из ΔBOC найдем CB: cos30 = BO:CB ⇒ CB = BO:cos30 = BO: (√3/2) = 36/(√3·tgα)

4) S ΔABC = 0.5·BO·BC = 0.5·  (18:tgα )· 36/(√3·tgα) = (108√3)/tg²α

5) V пирамиды = (1/3)·SΔABC · DH = (1/3)· (108√3/tg²α ) · 6 = 216√3/tg²α