в прямоугольном треугольнике АВС (угол В - прямой) на гипотенузе взяли точку D так, что BD=DA. докажите, что BD=DC.

Пусть угол А треугольника АВС равен х, тогда угол С равен 90-х (потому что треугольник прямоугольный). Раз АD равно ВD, то треугольник АВD - равнобедренный, значит, угол АВD равен х. При этом угол АВD + угол DВС = 90 градусов, значит, угол DВС = 90-х как и угол DСВ, значит, треугольник ВDС равнобедренный, значит, ВD = DС.