ПОМОГИТЕ ОТВЕТИТЬ НА 5 ВОПРОСОВ!

 

1. Чему равна высота правильной треугольной пирамиды со стороной основания а и боковым ребром b?

 

2. Чему равна сторона основания правильной шестиугольной пирами­ды, если её высота h и боковое ребро b?

3. Чему равна высота правильной шестиугольной пирамиды со сторо­ной основания а и боковым ребром b?

 

4. Чему равна апофема правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и высотой h?

 5. Чему равна апофема правильной треугольной пирамиды со сторо­ной а и боковым ребром b? 

1) см. рис. 1 :В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольникВысота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:h = \frac{a \sqrt{3} }{2} \\ где а - сторона равностороннего треугольникаВершина пирамиды проецируется в центр основания. Центром равностороннего треугольника является точка пересечения биссектрис, медиан и высот.Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины →BD = ( a√3 / 2 ) × 2/3 = a√3 / 3Рассмотрим ∆ SBD (угол SDB = 90°):По теореме Пифагора:SB² = SD² + BD²h² = b² - ( a√3 / 3 )²h = \sqrt{ {b}^{2} - \frac{ {a}^{2} }{3} } \\ 2) см. рис. 2:В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольникБо'льшие диагонали правильного шестиугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам, и при этом эти диагонали делят шестиугольник на шесть равных равносторонних треугольников →HD = DE = a - сторона основанияРассмотрим ∆ SDH (угол SHD = 90°):По теореме Пифагора:SD² = SH² + HD²a² = b² - h²a = \sqrt{ {b}^{2} - {h}^{2} } \\ 3) см. рис. 2 :Рассмотрим ∆ SDH (угол SHD = 90°):По теореме Пифагора:SD² = SH² + HD²h² = b² - a²h = \sqrt{ {b}^{2} - {a}^{2} } \\ 4) см. рис. 3 :В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадратОпустим из точки Е – точки пересечения диагоналей квадрата – перпендикуляр EF к CD →По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что SF перпендикулярен CD, то есть SF = s – апофема пирамидыРассмотрим ∆ CDE (угол CED = 90°):∆ CDE – прямоугольный и равнобедренный, так как диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам →EF – высота, медиана, биссектрисаПоэтому, EF = a / 2Рассмотрим ∆ SEF (угол SEF = 90°):По теореме Пифагора:SF² = SE² + EF²s² = h² + ( a / 2 )²s = \sqrt{ {h}^{2} + \frac{ {a}^{2} }{4} } \\ 5) см. рис. 4 :РН = s — апофема пирамидыТак как все боковые ребра правильной треугольной пирамиды равны →РН – высота, медиана, биссектриса боковой грани. Поэтому ВН = а / 2Рассмотрим ∆ BPH (угол PHB = 90°):По теореме Пифагора:РВ² = PH² + BH²s² = b² - ( a/2 )²s = \sqrt{ {h}^{2} - \frac{ {a}^{2} }{4} } \\