Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причём СК:ВК=5:8. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 72.

По условию ∆ АВС – равнобедренный, АВ = ВС → СК : ВК = АМ : ВМ = 5 : 8 Значит, CK = АМ = 5х , ВК = ВМ = 8х ВМ = ВК = 8х , АМ = АЕ = 5х , СК = СЕ = 5х – как отрезки касательных к окружностиAB + BC + AC = P abc8x + 5x + 8x + 5x + 5x + 5x = 7236x = 72x = 2Из этого следует, что ВМ = ВК = 16 , АМ = АЕ = 10 , СК = СЕ = 10 → АВ = ВС = 26 , АС = 20Рассмотрим ∆ АВЕ (угол АЕВ = 90°):По теореме Пифагора:АВ² = АЕ² + ВЕ²ВЕ² = 26² – 10² = 676 – 100 = 576ВЕ = 24S abc =( 1/2 ) × AC × BE = ( 1/2 ) × 20 × 24 = 240ОТВЕТ: S abc = 240