На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М. Известно, что СМ=2АС, угол СВА=15 град., угол САВ=45 град. Найдите угол АМВ.

На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М. Известно, что СМ=2АС, угол СВА=15 град., угол САВ=45 град. Найдите угол АМВ.
- Предмет:
  Геометрия
- Автор:
  ally44
- 6 лет назад

Ответы 2

Огромное Вам спасибо!
- Автор:
  doco9ye
- 6 лет назад
- 0
Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна $180^o \ ,$ легко понять, что $\angle BCA = 120^o \ .$ Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда:[1] $\frac{AB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$ Проведём $CN \$ так, чтобы $\angle BCN = 45^o \ .$ Тогда $\angle CNB = 120^o \ .$ Опять же из соотношения синусов:[2] $\frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$ Перемножим выражения [1] и [2]: $\frac{AB}{ \sin{ 120^o } } \cdot \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \cdot \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$ $\frac{AB}{ \sin^2{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin^2{ 45^o } } \ ;$ [3] $AB \sin^2{ 45^o } = NB \sin^2{ 120^o } \ ;$ Учитывая, что: $\sin{ 120^o } = \sin{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2} \$ и $\sin{ 45^o } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ ,$ а значит: $\sin^2{ 120^o } = \frac{3}{4} \$ и $\sin{ 45^o } = \frac{1}{2} \ ,$ получим из выражения [3] : $AB \cdot \frac{1}{2} = NB \frac{3}{4} \ ;$ $AB = NB \frac{3}{2} \ ;$ $NB = \frac{2}{3} AB \ ;$ Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос. $NA = \frac{1}{3} AB \ ;$ т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM .По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит: $MB || CN \ ;$ $\angle M = \angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o \ ;$ О т в е т : $75^o \ .$
- Автор:
  webster
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ