Через точку A, лежащую на окружности, проведены касательная AB и хорда AC. На дуге AC, лежащей внутри угла BAC, отмечена точка M так, что ◡AM = ◡MC. Расстояние от точки M до прямой AC равно 10 см. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.

Пусть расстояние от точки М до прямой АС - перпендикуляр МК=10, а расстояние от точки М до прямой АВ - перпендикуляр МН.По свойству угла между касательной и хордой<BAM равен половине дуги, заключенной между касательной АВ и хордой АМ.<BAC равен половине дуги, заключенной между касательной АВ и хордой АС. Дуги АМ и МС равны (дано)Значит АМ - биссектриса <BAC и прямоугольные треугольники НАМ и КАМ равны по острому углу и общей гипотенузе АМ. Из этого равенства катеты МН и МК равны. Ответ: искомое расстояние МН=10.

∠BAM =(дугаAM)/2  как угол между касательной BA и хордой BMж∠CAM= (дугаMC)/2 (вписанный угол) , но по условию задачи (дугаAM)=(дугаMC) ,следовательно ∠BAM =∠CAM ,т.е. AM биссектриса ∠BAC .Каждая точка биссектрисы  ||здесь M∈[AM) ||  неразвернутого угла ||здесь ∠BAC || равноудалена от его сторон||здесь AB  и AC )|| .ответ:  d(M,AB) = d(M,AC )  =10 см.* * *P.S.  понятно под "дуга.." - имели в виду не длина дуги,  а  градусную меру дуги .