Середины сторон некоторого четырехугольника являются вершинами другого четырехугольника. Найдите петиметр второго четырехугольника, если диагонали первого четырехугольника равны 18 и 32.

пусть первый четырехугольник: АВСД, середины сторон соответственно:

а - АВ, в - ВС, с - СД, д - ДА,

т.е. Аа=аВ, Вв=вС, Сс=сД, Дд=дА

известны длины диагоналей АС = 18 и ВД=32, надо найти периметр четырехугольника авсд.

1) нарисуй чертеж - и посмотри на треугольники АВС и аВв.

у них:

- углы АВС и аВв равны (это один и тот же угол - В),

- стороны АВ и ВС пропорциональны аВ и Вв (аВ=1/2 АВ, а вВ=1/2ВС),

значит, треугольники подобны и, соответственно, ав = 1/2 АС = 9,

а также равны углы Вав=ВАС, Вва=ВСА - следовательно стороны ав и АС - параллельны.

2) аналогично расссмотрим треугольники АДС и дДс - они тоже подобны,

и, соответственно, стороны дс и АС параллельны и да=1/2 АС,

и, вспомнив 1) - находим, что ав параллельно дс и ав=дс=1/2 АС

3) аналогично рассмотрим треугольники ВСД и вСд - аналогично докажем, что они тоже подобны и найдем, что ВД параллельно вд и вд=1/2 ВД,

а также подобны треугольники ВАД и аАс, и соответственно, получим, что ВД параллельно ас и ас=1/2ВД

следовательно ас параллельно вд и ас=вд=1/2 ВД=16

4) т.е. мы увидели, что малый четырехугольник у нас - параллелограмм (это, в принципе, не важно, но красиво), но главное - мы знаем все его стороны: 9,16,9,16, соответственно, периметр равен

ав+вс+сд+ад=50

рассмотрим треугольник АВС: EF - средняя линия ⇒ EF = 1/2 AC

рассмотрим треугольник АDC: HG - средняя линия ⇒ HG = 1/2 AC

рассмотрим треугольник DCB: FG - средняя линия ⇒FG = 1/2 DB

рассмотрим треугольник DAB: HE - средняя линия ⇒ HE = 1/2 DB

1/2 AC + 1/2 AC + 1/2 DB + 1/2 DB = AC + BD = 18+32=50

ответ: 50