В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC все ребра равны 6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку AB и BC. б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC все ребра равны 6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер AB и BC. б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB. ---------------------- Все ребра данной пирамиды равны.  ⇒  все ее грани - равные  правильные треугольники.    По условию ВМ=МА; ВN=NC⇒    MN - средняя линия ∆ АВС.     MN=AC:2=3   Искомая плоскость - осевое сечение пирамиды,    перпендикулярное её основанию, т.е. ∆ SBH.    SO- высота пирамиды;   ВН -высота ∆ АВС.    SM=SN- (апофемы равных граней равны.)  ⇒    ∆  MSN- равнобедренный.    BH⊥ MN  и пересекает её  в точке Р.     SP- высота  и медиана ∆ SMN.    МР=PN=1,5      Пусть Е - центр грани SAB.    По свойству правильного треугольника его центр - точка   пересечения его медиан ( биссектрис, высот).      Точка пересечения  медиан треугольника делит их  в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника ⇒   SE= 2/3 SM.   SM=SA*sin(60º)=6*√3/2    SM=3√3  SE=2√3  Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикулярного ей отрезка.   Проведем ЕТ параллельно MN.   Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. ⇒     ЕТ  перпендикулярен плоскости SBH  Рассмотрим ∆ SPМ и ∆  SKE (см. второй рисунок - нагляднее).  ЕК||МР, угол при вершине S общий, угол SEK= углу SMP ⇒      ∆ SPМ ~ ∆  SKE  Из их подобия следует отношение  SE:SM=EK:MP  EK=SE*MP:SM   EK=2√3)*1,5:3√3  =1   Ответ: расстояние от плоскости  сечения до центра грани SAB равно 1(ед. длины).