Даны прямая m и на ней точки А и В. Проводятся всевозможные пары окружностей, которые касаются друг-друга и касаются прямой m в точках А и В. Найдите множество всех точек касания таких окружностей.

Спасибо большое!)))

Идея решения понятна. Но Ваш ответ больше походит на решение обратной задачи, где доказывается, что построенная окружность является множеством точек касания заданных окружностей..

Но луч, опять же, можно провести в любом направлении. Здесь окружности могут быть любого размера, суть не изменится. Все точки касания будут равноудалены от середины АВ.

Да, в данном случае данное решение- это построение опренделенной окружности и доказательство, что любая точка этой окружности есть решением данной задачи (кроме А и В)

Странно, что вы все как-то пропустили :) Все разговоры, как расположены центры окружностей, совсем не нужны. Вот все решение в сухом остатке. Пусть C - точка внешнего касания двух окружностей, для которых AB - общая внешняя касательная (A и B - точки касания). В точке С есть общая касательная (перпендикулярная линии центров), которавя пересекает AB в точке M. MA = MC = MB = AB/2; поэтому в любом случае, независимо от радиусов окружностей точка C находится на расстоянии AB/2 от середины AB.

то есть - другими словами - на окружности, построенной на AB, как на диаметре. Разговоры, включать точки A и B, или нет - совсем не существенны. А вот то, что угол ACB прямой - это важное следствие, не имеющее отношения к решению :)

Мало какое решение задачи удостаивается такого долгого обсуждения).Требуется найти множество ВСЕХ точек касания. В данном случае множество всех точек касания лежит на окружности с диаметром АВ.

А точки А и В упоминаются как исключение, думаю, для особо дотошных.

   Центры окружностей касательных  прямой m в точках А и В лежат на перпендикулярах к этой прямой проведенных в этих точках.   Проведем окружности касающиеся друг друга в точке С и прямой в точках А и В.     Центры этих окружностей лежат на пересечении перпендикуляров от А и В и серединных перпендикуляров АС и ВС.    Проведем касательную прямую СО. Она пересекает прямую АВ в точке О.    По свойству касательных, проведенных из одной точки ОА=ОС и ОС=ОВ. Значит ОА=ОВ и точка О середина АВ.   ОС медиана треугольника АВС.   Если медиана равна половине стороны к которой проведена, то угол этого треугольника прямой и  треугольник - прямоугольный с гипотенузой равной диаметру окружности описанной вокруг него.  Следовательно: множество искомых точек - вершины прямоугольных с общей треугольников гипотенузой АВ описанных окружностью с диаметром АВ.