Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке M. Найдите площадь трапеции, если площадь ADM равна 6, а площадь ABM равна 3

Площадь треугольника АВД равна сумме площадей треугольников АМД и АВМ и равна 6+3=9. Высота треугольника АВД равна высоте трапеции АВСД. Введём обозначения:  h - высота треугольника АМД, H - высота треугольника АВД,   a - нижнее основание трапеции,  в - верхнее основание. Отношение высот определим из их площадей: (1/2)a*h = 6, (1/2)a*H = 9. Отсюда h/Н = 6/9 = 2/3. Теперь рассмотрим треугольник ВМС. Он подобен треугольнику АМД. Высота его равна Н - h, а площадь пропорциональна квадрату сходственных сторон. Произведение a*h = 6*2 = 12,                        a*H = 9*2 = 18. Если принять целочисленные значения этих величин, то такое соотношение возможно при значениях а = 3, h = 4, Н = 6. Тогда Н - h = 6 - 4 = 2. Площадь треугольника ВМС равна:

(1/2)в*(Н - h) = (1/2)в*2 = в. Отношение площадей треугольников ВМС и АМД равно 

(Н – h)²/h² = 2²/ 4² = 4/16 = 1/4.

То есть S(ВМC) = (1/4)*S(АМД),

 (1/2)в*(Н - h) = (1/4)*6.

(1/2)в*2 = 6/4,

 в = 6/4 = 3/2.

Перенесём сторону ВС к нижнему основанию в точку Д.

Получим треугольник АВД₁, равновеликий по площади трапеции АВСД.

S(АВСД) = S(АВД₁) = (1/2)*H*(a+в) = (1/2)*6*(3+(3/2)) = 27/2 = 13,5 кв.ед.