Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен а. Высота пирамиды равна H. Найдите объем конуса, вписанного в пирамиду.

Пирамида правильная  четырехугольная - значит,  её основанием является квадрат. 

Высота конуса, вписанного  в пирамиду,  совпадает с высотой пирамиды, а радиус основания равен половине ее стороны, как радиус окружности, вписанной в квадрат. 

Объем конуса находят по формуле 

V=πr² ·h/3

 По условию h=H

r=?

Пусть высота пирамиды МО, апофема =образующей конуса = МР, радиус r основания конуса - ОР. 

r=ОР:MO=ctg α

r=H·ctg α

V=π (H·ctg α)²*H/3= πH³·ctg²α