1. Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DBC составляет с плоскостью АВС угол в 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

1.Проведём АН -медиану правильного треугольника АВС. Она перпендикулярна стороне ВС, т.к. медиана правильного треугольника одновременно является его высотой.

2.В треугольнике АНС угол Н равен 90 град, сторона АС равна а (по условию), сторона НС равна а/2, т.к. АН-медиана АВС.

АН= sqr(a^2- (a/2)^2)=sqr((3a^2) /4)=(a*sqr3) / 2

3.В треугольнике ДАН угол А равен 90 град, т.к. ДА препенд. пл-ти АВС., угол Н равен 30 град, НА =(a*sqr3) / 2.

Найдём ДА через tg угла ДНС:

tg 30 = ДА / (a*sqr3) / 2, отсюда ДА= а/2

4.Найдём площадь боковой поверхности пирамиды:

S=S(ДАС)+ S(ДАВ)+S(СВД)

S(ДАС)=1/2*АС*АД=1/2*а*а/2=a^2 /4

S(ДАВ)=S(ДАС)=a^2 /4

S(СВД)=1/2*ВС*ДН

ДН найдём из треугольника ДНС ДН= ДА / sin 30= (a/2): 1/2=a

S(СВД)=1/2*a*a=1/2*a^2

S = 2*(a^2 /4) + a^2 /2 = a^2