докажите, что в произвольном треугольнике прямые , проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

Конечно, "прямая" и "обратная" - это терминология. Оба утверждения доказаны, поэтому их можно "свести в одно" и считать, что оно "работает в обе стороны". Это уже вопрос для "методиста", а не для математика.

Я хочу рассказать одну "поучительную" историю :))) На выпускном экзамене по математике у меня была теорема синусов. Я дал формулировку, как положено. Меня выгнали с экзамена, и был большой скандал (всё-таки победитель всяких олимпиад и т.д.). Вместо слова "пропорциональны", как требовалось РОНО, я сказал "отношения равны". Чуть "пару" не схлопотал...

Так вот, с тех пор я НИКОГДА не придерживаюсь "методических указаний". У меня есть (АБСОЛЮТНО ПРАВИЛЬНОЕ) убеждение, что я знаю предмет лучше любого РОНО - или как оно там сейчас называется. Вообще, слушать ДУРАКОВ вредно, а дураков с положением - особенно вредно.

Я не призывают никого демонстративно нарушать предписанные правила, как раз - наоборот. Просто дураков всегда надо видеть, понимать и ОБХОДИТЬ. По-возможности - аккуратно, ибо они агрессивны и опасны. В конце концов они все равно проиграют, потому что умные всегда выигрывают. Просто потери могут быть невосполнимые, их следует ТЩАТЕЛЬНО избегать.

В моей истории я просто обязан был ПАРАЛЛЕЛЬНО взять на заметку требования РОНО, и на экзамене дать именно требуемое определение. Это было мое упущение, но оно заключалось не в теореме синусов, а в том, что я ЗАДЕЛ ДУРАКОВ.

Я тоже тут отмечусь, уж простите :)Треугольник ABC, стороны (противолежащие углам) a, b, c, Точка K делит сторону BC = a на отрезки CK = x и BK = a - x; Точка M делит сторону AC = b на отрезки AM = y и CM = b - y;Точка N делит сторону AB = c на отрезки BC = z и AC = c - z;Получается из условия деления периметра пополам b + x = c + a - x; x = (c + a - b)/2 = p - b; CK = p - b;где p - полупериметр ABC; p  = (a + b + c)/2;a - x = BK = p - c; Аналогично AM = p - c; CM = p - a;BN = p - a; AN = p  - b;То есть AN*BK*CM/(BN*AM*CK) = (p - b)*(p - c)*(p - a)/((p - a)*(p - c)*(p - b)) = 1;Остается сослаться на обратную теорему Чевы.