в треугольнике abc угол c равен 90° ab=6, tga=2 на корень из 2. Найдите AC

в треугольнике abc угол c равен 90° ab=6, tga=2 на корень из 2. Найдите AC
- Предмет:
  Геометрия
- Автор:
  nathanael
- 6 лет назад

Ответы 1

Если есть проблемы с отображением, смотрите снимок ответа, который приложен к нему. ====Смотрите рисунок, приложенный к ответу. Рассмотрим $\triangle ABC$ . Из условия ясно, что он — прямоугольный (так как $\angle C = 90^{\circ}$ ). $AB = 6 cm$ — гипотенуза, $AC$ — искомый катет, $tg \angle A = 2\sqrt{2}$ Тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету. То есть: $tg \angle A = \frac{BC}{AC}$ Отсюда: $AC = \frac{BC}{tg \angle A}$ Как видим, оба катета неизвестны. Но есть выход — теорема Пифагора. Покажем теорему Пифагора для данного треугольника: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ Как мы выяснили чуть выше $AC = \frac{BC}{tg \angle A}$ .Заменяем и получаем: $AB^2 = (\frac{BC}{tg \angle A})^2 + BC^2$ Немного поколдуем: $AB^2 = \frac{BC^2}{tg^2 \angle A} + BC^2 \\ AB^2 = \frac{BC^2 + BC^2 \cdot tg^2 \angle A}{tg^2 \angle A} \\ AB^2 = \frac{BC^2( 1 + tg^2 \angle A)}{tg^2 \angle A} \\$ Отсюда найдем $BC$ : $AB^2 = \frac{BC^2( 1 + tg^2 \angle A)}{tg^2 \angle A} \\ BC^2 = \frac{AB^2 \cdot tg^2 \angle A}{1+tg^2 \angle A} \\ BC = \sqrt{\frac{AB^2 \cdot tg^2 \angle A}{1+tg^2 \angle A}}$ Теперь напомню зачем нам нужно было $BC:$ $AC = \frac{BC}{tg \angle A}$ Подставляем вместо $BC$ новую подстановку: $AC = \frac{\sqrt{\frac{AB^2 \cdot tg^2 \angle A}{1+tg^2 \angle A}}}{tg \angle A}$ Отлично. В формуле для нахождения ответа не осталось ни одной неизвестной. Подставляем то, что есть в формуле. Из условия: $tg \angle A = 2\sqrt{2}, AB = 6 cm$ Найдем, наконец, $AC:$ $AC = \frac{\sqrt{\frac{AB^2 \cdot tg^2 \angle A}{1+tg^2 \angle A}}}{tg \angle A} = \frac{\sqrt{\frac{(6 cm)^2 \cdot (2\sqrt{2})^2}{1+(2\sqrt{2})^2}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\frac{36 cm^2 \cdot 8}{1+8}}}{2\sqrt{2}} =$ $= \frac{\sqrt{32 cm^2}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2} cm^2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{16 cm^2} \cdot \frac{1}{2} = 4 cm \cdot \frac{1}{2} = 2 cm$ Это ответ.
- Автор:
  chanelxlyi
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ