В равнобедренную трапецию,периметр которой равен 200,а пплощадь равна 2000,можно вписать окружность.Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания
Как можно быстрее(30б)

Решение:SABCD=EF*(AD+BC)/2=2000PABCD=AB+BC+CD+AD=200AB=CD (так как трапеция равнобедренная). Чтобы окружность можно было вписать в трапецию должно выполняться условие - суммы противоположных сторон трапеции должны быть равны, т.е.AD+BC=AB+CDAD+BC=2AB (т.к. AB=CD)Тогда: PABCD=AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB=4AB=200AB=50Значит, AD+BC=2*50=100SABCD=EF*(AD+BC)/2=EF*100/2=EF*50=2000EF=40Проведем высоту BH, как показано на рисунке.BH=EF=40, так как BEFH - прямоугольник.AH=(AD-BC)/2По теореме Пифагора:AB2=BH2+AH2502=402+AH22500=1600+AH2900=AH230=AH=(AD-BC)/260=AD-BC, вспомним, что AD+BC=10060=AD-(100-AD)60=AD-100+AD160=2ADAD=80Тогда BC=100-80=20Рассмотрим треугольники AKF и CKEAF=AD/2=40CE=BC/2=10∠AFK=∠CEK=90°∠AKF=∠CKE (т.к. они вертикальные)По первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.Тогда, AF/CE=KF/KE40/10=KF/KE4=(EF-KE)/KE (вспомним, что EF=40)4KE=40-KE5KE=40KE=8Ответ: KE=8