На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки D и E соответственно.Из этих точек опущены перпендикуляры DK и EP к прямой АС, DK=EP, угол ADK= углу PEC. Докажите, что AB=BC

Треугольник АВС 

Полученные треугольники АДК и РЕС равны по катету и прилегающему осторому углу, ЕС=АД,  прямая ДЕ параллельна АС потому что перпендикуляры опущены с одной прямой на другую равны между собой.

далее по Теореме Фалеса. параллельные прямые , которые пересекают стороны угла отсекают от сторон пропорцианальные отрезки. 

ВЕ / ЕС = ВД / АД , ВЕ/ЕС=ВД/ЕС, ВЕ х ЕС = ВД х ЕС , ВЕ=ЕС

отрезки равны между собой - стороны равны