4. Диагонали трапеции перпендикулярны. Одна из них равна 32. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 20. Найдите площадь трапеции.

Дано:

АВСD - трапеция. АС= 32 смАС⊥ ВDBL=LCAM=MDLM=20 смНайти площадь АВСD

Сделаем рисунок к задаче.Из вершины С трапеции параллельно ВD проведем прямую до пересечения с продолжением АD.

Точку пересечения обозначим F.Так как СF ║ ВD по построению, а ВС параллельна DF , так как параллельна АD, а DF - продолжение АD, то

ВСDF- параллелограмм,  ⇒ ВС= DF.

Рассмотрим треугольники АВС и  СDF.Они имеют равные основания и равные высоты, которые равны высоте трапеции.  Следовательно, их площади также равны.

Рассмотрим треугольник АСF. Его площадь равна площади трапеции, так как S трапеции =S  ᐃ АВС+S ᐃ ACD, аS  ᐃ АСF=S ACD+S CDF  ᐃАВС равновелик ᐃCDF S  ᐃ АВС+S ᐃ ACD=S ACD+S CDFS  АВСD= S  ᐃ АСFТак как диагонали трапециипересекаются под прямым углом,

то СF, параллельная ВD, также перпендикулярна АC.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник АСF, площадь которого равна площади трапеции. Если из вершины С провести прямую, параллельную LM, до пересечения в точке Р с АD, то она будет равна ей по свойству параллельных отрезков между параллельными прямыми ( в данном случае с прямыми ВС и АD). Точка Р отстоит от М на половину расстояния ВС, что равно половине DF.

Т.е. МР=LC= DF:2АF=AM+MD+DFPF=MD-M+DFAP=PF Cледовательно, СР - медиана прямоугольного треугольника АСF. По свойству медианы прямоугольного треугольникаСР=АР=PF=20 смАF=2·CP= 40 смS ᐃ ACF=AC· CF:2 CF найдем по теореме Пифагора:CF²= АF²- АС²=1600-1024=576CF=√ 576=24 смS ᐃ ACF=32·24:2=480 см²Так как S ᐃ ACF= S   АВСD, площадь трапеции АВСD=480 см²